Identitas Trigonometri Sudut Rangkap

Nama : Nazla Fathiya Azhar

Kelas : XI IPA 6

Absen : 27

Rumus Sudut Rangkap Trigonometri Dan Contoh Soalnya

Pada umumnya, rumus sudut rangkap trigonometri ini digunakan untuk menghitung nilai suatu sudut yang bukan termasuk sudut istimewa, selain itu juga digunakan untuk menghitung atau menentukan nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut tapi utamanya tetap bukan sudut istimewa tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator.

Sebagaimana yang kita ketahui, bahwa besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa adalah 30°, 45°, 60°, 90° dan seterusnya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75°, 105° dan seterusnya.

Rumus Sudut Rangkap Trigonometri

Sebagaimana penjelasan sebelumnya bahwa rumus sudut rangkap hanya digunakan untuk mencari nilai besar sudut trigonometri di luar sudut istimewa.

Contohnya, diketahui bahwa sudut 60° merupakan sudut istimewa sehingga dengan mudah dapat kita ketahui nilainya. Lalu bagaimana cara mengetahui nilai sudut 120°? yang mana telah kita ketahui sebelumnya bahwa sudut 120° bukan merupakan sudut istimewa?

Maka di sinilah kegunaan rumus trigonometri sudut rangkap. Kita akan mengetahui jawabannya tersebut dengan menggunakan rumus ini.

Nilai 120° diatas adalah merupakan hasil dari 2×60°. Sudut 120° memang bukan merupakan sudut istimewa, namun sudut 60° adalah merupakan sudut istimewa.

Berikut ini akan kita uraikan lebih jelas tentang rumus trigonometri sudut rangkap.

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Rumus sudut rangkap sinus dapat dinyatakan pada rumus sebagai berikut:

sin 2 α = 2sinα cosα 

Bukti :

sin2α = sin (α+α)

sin2α = sinα cosα = cosα sinα

sin2α = sinα cosα + sinα cosα

sin2α = 2sinα cosα

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Ada tiga rumus yang bisa dipakai untuk menentukan nilai suatu sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus tersebut yaitu:

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = 1 -2 sin2α

cos 2α = 2 sin2α – 1

Bukti :

Cos 2α = cos ( α+α )

cos 2α = cosα cosα – sinα sinα

cos 2α = cos2α – cos2α

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, perlu di ingat bahwa rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = (1-sin2α) – sin2α

cos 2α = 1 – sin2α – sin2α

cos 2α = 1 – 2sin2α

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)

cos 2α = cos2α – 1 + cos2α

cocs 2α = cos2α + cos2α – 1

cos 2α = 2cos2α – 1

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam sebuah rumus sebagai berikut:

Bukti:

tan2α = 2tanα / 1-tan2α

Terbukti

Contoh soal :

1. Diketahui sin x = 3/5 dengan sudut x adalah lancip. Tentukan nilai dari sin 2x.

Pembahasan

sin x sudah diketahui, tinggal cos x berapa nilainya

cos x = 4/5

Berikutnya gunakan rumus sudut rangkap untuk sinus,

sin 2x = 2 sin x cos x

= 2 (3/5)(4/5) = 24/25

2. Diketahui sin x = 1/4, tentukan nilai dari cos 2x.

Pembahasan

Rumus sudut rangkap untuk cosinus.

cos 2x = cos2 x − sin2x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

cos 2x = 1 − 2 sin2 x

Gunakan rumus ketiga

cos 2x = 1 − 2 sin2 x

= 1 − 2 (1/4)2

= 1 − 2/16 = 16/16 − 2/16 = 14 / 16 = 7 / 8

3. cos x + sin x)2 / (cos x - sin x)2 

Pembahasan

(cos x + sin x)2 = cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x = sin2 x + cos2 x + 2 sinx cos x

(cos x + sin x)2 = 1 + sin 2x

(cos x - sin x)2 = cos2 x - 2 sin x cos x + sin2 x = sin2 x + cos2 x - 2 sin x cos x

(cos x - sin x)2 = 1 - sin 2x

Jadi

(cos x + sin x)2 / (cos x - sin x)2 =  (1 + sin 2x) / (1 - sin 2x)